歐拉公式

簡(jiǎn)化計(jì)算

歐拉公式E(i )+1=0被譽(yù)為數(shù)學(xué)中最完美的公式，而公式中的五元素E、、I、1、0也比作《神雕俠侶傳奇：時(shí)間的灰燼》的五位大師《乞丐》。

鑒于超模君經(jīng)常被問(wèn)到后臺(tái)，為什么E和經(jīng)常出現(xiàn)在看似不相關(guān)的領(lǐng)域？ e和之間有什么聯(lián)系嗎？ e 和 E 誰(shuí)更大？諸如此類的問(wèn)題。

今天超模君就帶大家看看E和的風(fēng)采。

e的起源

說(shuō)到e，就不得不再次提到Euler。他無(wú)處不在。他真是一個(gè)了不起的人。自然數(shù)e 基于

以萊昂哈德歐拉（Leonard Euler）命名，取歐拉首字母“E”。

但事實(shí)上，第一個(gè)發(fā)現(xiàn)E 的人并不是歐拉，而是雅各布伯努利。伯努利熟悉它嗎？

17、18世紀(jì)，伯努利家族是一個(gè)學(xué)術(shù)世家。雅各比伯努利是歐拉的數(shù)學(xué)老師約翰伯努利的兄弟。

撇開不談，讓我們回到e。理解e，我們可以從生活中一個(gè)常見的例子說(shuō)起，就是銀行利率和收益的問(wèn)題。

如果你在銀行有一美元，銀行同意支付你100% 的年利率。

那么一年之后，你手里的錢當(dāng)然會(huì)增加到（1+100%）=2元；

現(xiàn)在銀行同意把一年期的年利率按照復(fù)利計(jì)算分成兩個(gè)50%的半年利率，那么年末的錢就是：（1+50%）（ 1+50%)=2.25元；

現(xiàn)在銀行按季算復(fù)利，所以年末的錢是：（1+25%）（1+25%）（1+25%）（1+25%） (1+25%)=2.44元；

我們可以看到，點(diǎn)數(shù)越細(xì)，總收入越多。如果我們繼續(xù)分解這個(gè)復(fù)利過(guò)程，到年底我們得到的錢將是：

細(xì)分成小時(shí)和分鐘呢？迭代運(yùn)行后，可以得到如下值：

可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)算利率期數(shù)n越大，年底拿到的錢就越多，最后無(wú)限接近e值。

也就是說(shuō)，一旦本金固定，銀行的年利率（100%）也就固定了。無(wú)論用多少期結(jié)息，年末的錢都無(wú)限接近于一個(gè)值（2.7183）。

E的本質(zhì)含義是累積增長(zhǎng)的極限。 E寫成高等數(shù)學(xué)的微積分形式，E的定義是：

的由來(lái)

說(shuō)到pi，它很簡(jiǎn)單。它只是圓的周長(zhǎng)與其直徑的比值。

1748年，圓周率首次被提出，歐拉的杰作《無(wú)窮小分析導(dǎo)論》發(fā)表。在這本書中，歐拉建議用符號(hào)“”來(lái)表示圓周率，并在其中直接使用了。在歐拉的積極倡導(dǎo)下，成為圓周率的代名詞。

的定義雖然簡(jiǎn)單，但是pi的計(jì)算卻歷經(jīng)千年，至今仍未結(jié)束。

最新記錄是今年。 3 月14 日，谷歌宣布圓周率現(xiàn)已達(dá)到31.4 萬(wàn)億小數(shù)位。

pi的計(jì)算方法多種多樣，甚至到了讓人驚喜的地步（去年超模統(tǒng)計(jì)的算法傳送門）。

說(shuō)到圓周率，還有一個(gè)人不得不提，那就是中國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之。

公元480年前后，南北朝數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步得到了一個(gè)精確到小數(shù)點(diǎn)后七位的結(jié)果，給出了3.145926的近似值和3.45926的近似值。正確的位數(shù)達(dá)到了7位數(shù)，在當(dāng)時(shí)是非常準(zhǔn)確的，900多年來(lái)沒有人打破過(guò)這個(gè)記錄。

祖沖的牛皮！

關(guān)于e 和 的事情

說(shuō)完e和的由來(lái)，那么e和有關(guān)系嗎？

畢竟，有時(shí)會(huì)發(fā)生帶有E 的定積分中有，而某些三角函數(shù)的積分中有E。

事實(shí)上，e 和 本質(zhì)上是無(wú)關(guān)緊要的。

之所以說(shuō)“含E的定積分中有，三角函數(shù)的某些積分中有E”，是因?yàn)榕cE有關(guān)的傅里葉展開函數(shù)，如e x 或lnx，經(jīng)過(guò)傅里葉展開后可以變換為一系列的三角函數(shù)，只要選擇合適的積分區(qū)間，自然就會(huì)出現(xiàn)。

另外，歐拉巧妙地將它們用一個(gè)公式聯(lián)系起來(lái)，就是非常有名的歐拉公式：e(i )+1=0。這讓很多人誤以為e和有一定的關(guān)系。

可能有人會(huì)疑惑，為什么： E和經(jīng)常出現(xiàn)在看似無(wú)關(guān)的科目中呢？比如物理化學(xué)等學(xué)科。

那是因?yàn)檎f(shuō)到微積分和指數(shù)對(duì)數(shù)，E和都喜歡湊熱鬧。高斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)是科學(xué)之王。王自然控制一切，數(shù)學(xué)控制科學(xué)。

e 和 E 哪個(gè)大？

說(shuō)到e和，我們就不能回避e or E誰(shuí)大的問(wèn)題。

超模君還準(zhǔn)備了幾種對(duì)比方法。最簡(jiǎn)單的方法當(dāng)然是計(jì)算器。拿出你的科學(xué)計(jì)算器，輸入E 和 E 得到對(duì)應(yīng)的值：

顯然，e 大于 E。

好了，今天就到這里。別鬧了。超級(jí)名模不會(huì)這么幼稚。讓我們向您展示一個(gè)稍微高一點(diǎn)的解決方案：

e的定義，看名字，強(qiáng)行上來(lái)，顧名思義，用e的定義來(lái)解決問(wèn)題。

經(jīng)過(guò)

得到

生產(chǎn)

規(guī)則

那是

這個(gè)方法看起來(lái)有點(diǎn)復(fù)雜，不太好理解。

為了讓大家明白，我們來(lái)一個(gè)簡(jiǎn)單的構(gòu)造函數(shù)推導(dǎo)方法：

設(shè)置

衍生物

存在

因此，嚴(yán)格單調(diào)遞減

自由的

這種方法比較容易理解。在比較e 和 E 大小的方法中，對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)法是最簡(jiǎn)單明了的計(jì)算方法。

18世紀(jì)，歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的倒數(shù)關(guān)系。在1770 年出版的一本書中，歐拉首先使用定義

他說(shuō)：“對(duì)數(shù)是從指數(shù)派生的”。

對(duì)數(shù)、解析幾何和微積分被公認(rèn)為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大重要成就，許多科學(xué)家都給予了高度評(píng)價(jià)。

這里的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)法可見一斑。

先分別取對(duì)數(shù)。

設(shè)置

規(guī)則

也就是

乍一看，e π和π E的數(shù)值非常接近，但無(wú)法通過(guò)簡(jiǎn)單的加減乘除來(lái)比較大小。對(duì)數(shù)的出現(xiàn)讓這一切變得簡(jiǎn)單。

本來(lái)我覺得e π和π E哪個(gè)大是個(gè)大問(wèn)題。這不是很簡(jiǎn)單嗎？有多難，超模君8歲的表妹都能比。比較e π和π E的大小是一個(gè)不到一分鐘的小問(wèn)題。